Definicja podręcznikowa: Liczb naturalnych: 0, 1, 2 ,3 ... jest nieskończenie wiele. Dla dowolnej liczby naturalnej n liczba n + 1 jest następna (większa o 1) i tak po milionie następuje milion jeden, potem milion dwa, milion trzy, zaś po kwintylionie (liczba zapisywana jako jedynka z 30 zerami) - kwintylion jeden itd.
Zbiór liczb naturalnych oznaczamy literą N.
Moja definicja: Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności.
Przykład: 0, 1, 2, 3, 4, ... 157, 158, 159.... i tak dalej. Zauważ, że każda kolejna liczba jest większa o 1 od poprzedniej. Stąd też wzór n+1. Gdzie n to liczba naturalna.
Sam widzisz to zbiór tych wszystkich podstawowych liczb, które często używasz w życiu codziennym np. licząc samochody w zatłoczonym korku, czy też ilość kupionych bułek.
1. Dzielnik liczby
Definicja podręcznikowa: Liczbę naturalną m ≠ 0 nazywamy dzielnikiem liczby naturalnej n wtedy i tylko wtedy,
gdy iloraz n : m jest liczbą naturalną.
Moja definicja: Dzielniki liczby to liczby użyte w dzieleniu, które po podzieleniu dają nam wynik bez reszty.
Przykład: 16 jest podzielna przez 1, 2, 4, 8, 16. I wszystkie te liczby przez które liczba 16 jest podzielna nazywamy dzielnikami liczby.
Uwaga!
Dzielnik - liczba w dzieleniu
Dzielnik liczby - oznacza liczbę która dzieli ją bez reszty.
Przykład:
7 : 3 = 2 reszty 1 (3 jest dzielnikiem, ale nie jestem dzielnikiem liczby 7, ponieważ wynik ma jeszcze resztę)
20 : 5 = 4 (5 jestem dzielnikiem i jednoczenie dzielnikiem liczby 5, ponieważ wynik jest bez reszty)
Jeśli dalej nie wiesz o co chodzi mi z tym dzielnikiem, przypomnij sobie jak nazywają się poszczególne liczby w równaniach, w tym przypadku w dzieleniu.
2. Cechy podzielności
Liczba naturalna jest podziela przez:
- 2, gdy ostatnią cyfrą liczby jest jedna z cyfr: 0, 2, 3, 6, 8;
- 3, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3;
- 4, gdy dwie ostatnie jej cyfry są podzielne przez 4;
- 5, gdy ostatnią jej cyfrą jest 0 lub 5;
- 6, gdy jest podzielna jednocześnie przez 2 i 3;
- 8, gdy jednocześnie dzieli się przez 2 i 4;
- 9, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 9;
- 10, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0;
- 12, gdy jest podzielna jednocześnie przez 3 i 4;
- 14, gdy jest podzielna równocześnie przez 2 i 7;
- 15, gdy jest podzielna równocześnie przez 3 i 5.
- 25, gdy jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę: 25, 50, 75 lub są zerami.
Inne przypadki:
- 7, aby dowiedzieć się czy dana liczba dzieli się przez 7, skreślamy jej ostatnie trzy cyfry, a od tak powstałej liczby odejmujemy liczbę skreśloną, jeśli ta różnica dzieli się przez siedem to i liczba jest podzielna przez 7.
- 11, jeżeli różnica pomiędzy sumą cyfr stojących na miejscach nieparzystych(licząc od prawej) i sumą cyfr stojących na miejscach parzystych jest liczbą podzielną przez 11 to i badana liczba jest podzielna przez 11.
- 13, aby dowiedzieć się czy dana liczba dzieli się przez 13, skreślamy jej ostatnie trzy cyfry, a od tak powstałej liczby odejmujemy liczbę skreśloną, jeśli ta różnica dzieli się przez 13 to i liczba jest podzielna przez 13.
3. Rozkład liczby naturalnej na czynniki pierwsze
Definicja podręcznikowa: Rozkład liczby naturalnej na czynniki pierwsze jest przedstawieniem tej liczb w postaci iloczynu liczb naturalnych większych od 1. Rozkłady na czynniki różniące się tylko kolejnością czynników uważamy za identyczne.
Moja definicja: Z rozkładem liczb jest jak z jedzeniem. Aby powstało jakieś danie wpierw trzeba dodać pewne produkty. Np. na śniadanie jesz przepyszną kanapkę. Możesz ją rozłożyć na czynniki (składniki) z których się składa: bułka, masło, ser, pomidor itd. Tak samo jest z liczbami.
Przykłady:
Liczba 52= 2*26, 52= 2*2*13, 52=4*13
Liczba 10=2*5
Liczba 20= 2*10, 20= 2*2*5, 20=4*5
Przykład bardziej obrazkowy. Sałatka warzywna to nasza główna liczba, a wszystkie jej składniki to nasze czynniki.
Sałatka warzywna = marchew * ziemniak * pietruszka * ogórek * groszek * jabłka * majonez
Uwaga!
Nie wszystkie liczby można rozłożyć na czynniki pierwsze!
Tak się dzieje gdy jedynymi dzielnikami liczby są 1 i ta podana liczba! Są to liczby pierwsze.
Przykłady: 53= 1*53, 17=1 *17, 13=1*13
Aby lepiej zrozumieć powyższe wyjaśnienia, przypomnij sobie, jak nazywały się liczby w mnożeniu.
4. Liczby pierwsze
Definicja: Liczby naturalne, które mają dokładnie dwa dzielniki (1 i samą siebie).
Przykłady kilku kolejnych liczby pierwszych:
2=1*2
3=1*3
5=1*5
7=1*7
11=1*11
13=1*13
(4=1*4 ale też 4=2*2 więc nie jest już liczbą pierwszą bo ma więcej niż dwa dzielniki: 1,2,4. Podobnie jest z pozostałymi pominiętymi liczbami)
Kilka faktów, które warto pamiętać:
- Liczbą pierwszą nie jest 0 ani 1;
- Liczby pierwsze zaczynają się od cyfry 2;
- Liczb pierwszych nie można rozłożyć na czynniki pierwsze.
- Każdą liczbę naturalną większą od 1, która nie jest liczbą pierwszą, nazywamy liczbą złożoną.
- Liczby 0 i 1 nie zaliczamy ani do liczby pierwszych, ani do liczb złożonych.
5. Twierdzenie liczb złożonych (poziom rozszerzony)
Każdą liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki będące liczbami pierwszym. Istnieje dokładnie jeden taki rozkład (z dokładnością do kolejności czynników)
Przykład: 150=3*50=3*2*25=3*2*5*5
Jak w łatwy sposób rozłożyć liczbę na czynniki będące liczbami pierwszymi?
Zapisujemy ją w następujący sposób i cały czas dzielimy przez liczby pierwsze, najlepiej zaczynając od najmniejszych czyli wpierw przez 2, jak się nie da to przez 3, 5 itd. Wyniki zapisujemy po lewej stronie kreski, a dzielniki po jej prawej stronie.
150:3 = 50, 50:2 = 25, 25:5 =5, 5:5=1 150= 3*2*5*5
lub 150:2=75, 75:3=25, 25:5=5, 5:5=1 150=2*3*5*5
6. Zadania
- Wyznacz wszystkie dzielniki podanej liczby.
2. Dana jest liczba siedmiocyfrowa 315059a, gdzie a oznacza cyfrę jedności. Wyznacz tę liczbę, jeśli jest ona podzielna przez:
a) 9 b) 6 c) 4
3. Nie wykonując dzielenia, podaj, które spośród liczb: 15, 45, 75 są dzielnikami danej liczby.
a) 1155 b) 9825 c) 5165 d) 8235
4. Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 201 podzielnych przez:
a) 5 b) 3 c) 11 d) 7
5. Liczby, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę 1, można zapisać w postaci 3k+1 (k jest liczbą naturalną). Zapisz w podobny sposób liczby:
a) które przy dzieleniu przez 7 dają resztę 1,
b) które przy dzieleniu przez 7 dają resztę 5,
c) podzielne przez 7
6. Uczniowie zebrali 934 kasztany i postanowili podzielić je równo między siebie. Ile kasztanów zostało po dokonaniu podziału, jeśli uczniów było:
a) 5 b) 7 c) 8
7. Jeżeli podzielimy liczbę n przez 6, otrzymamy iloraz k i resztę r. Wyznacz liczbę n.
a) k = 7, r = 3 b) k = 13, r = 5
8. Dzieląc liczbę n przez 5, otrzymujemy iloraz k i resztę r. Wykonaj dzielenie i zapisz liczbę n w postaci 5k + r.
a) n = 117 b) n = 498 c) n = 2021
9. a) Podaj trzy kolejne liczby parzyste, z których pierwszą jest 2n.
b) Podaj cztery kolejne liczby nieparzyste, z których pierwszą jest 2n+1
10. Uzasadnij, że suma:
a) trzech kolejnych liczb podzielnych przez 3 jest podzielna przez 9,
b) pięciu kolejnych liczb parzystych jest podzielna przez 10.
11. Rozłóż liczbę na czynniki pierwsze. ( poziom rozszerzony)
a) 360 b) 462 c) 1089 d) 3675 e)3861
Odpowiedzi i sposób rozwiązania:
1.
a) 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64
b) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
c) 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54
d) każda liczba naturalna dodatnia
c) 1, 3, 9, 37, 111, 333
2.
a) 3150594
b) 3150594
c) 3150592
d) 3150596
3.
a) 15
b) 15, 75
c) żadna
d)15, 45
4.
a) 41
b) 67
c) 19
d) 29
5.
a) 7k + 1
b) 7k + 5
c) 7k
gdzie k należy do N
6.
a) 4
b) 3
c) 6
7.
a) 45
b) 83
8.
a) 5*23 + 2
b) 5*99 + 3
c) 5* 404 + 1
9
a) 2n, 2n+2, 2n+4
b) 2n+1, 2n+3, 2n+5, 2n+7
11. Korzystamy z twierdzenia liczb złożonych
a) 23 * 32
* 5
b) 2 * 3 * 7 * 11
c) 32 * 112
d) 3 * 52 * 72
e) 33 * 11 * 13
1. W tym zadania zastanawiamy się przez jakie dzielniki dzielą się liczby podane w poszczególnych podpunktach i je wypisujemy.
2. By rozwiązać to zadanie musimy sobie przypomnieć cechy podzielności.
3. By rozwiązać to zadanie musimy sobie przypomnieć cechy podzielności.
4. Cechy podzielności.
5. Zwróć uwagę na ten przykład: 35 : 5 = 7 i 5 * 7 = 35 oraz zapisany w postaci ułamka.
K oraz x jest liczbą naturalną dodatnią
Jeśli coś jest podzielne przez jakąś liczbę można to zapisać zawsze za pomocą tego samego wzoru. Liczba przez którą dzielimy * nasz wynik. Tak jak to jest przedstawione na powyższych obrazkach.
Więc jeśli pewna liczba jest podzielna przez 7 to zapisujemy ją jako 7k (to znaczy to samo co 7*k, nie musisz pisać znaku mnożenia), lub 7n czy 7c. Literka nie ma znaczenia, to ty ją ustalasz.
Tak samo jeśli liczba jest podzielna
a) przez 5 zapisujemy ją jako 5k,
b) przez 43 jako 43k
c) przez 1009 jako 1009k
Mnożąc tylko pewną liczbę ( w naszym przypadku ,,k" i to k jest liczba naturalną dodatnią) przez inną liczbę naturalną dodatnią (zapiszemy ją sobie jako t) zawsze otrzymujemy wynik bez reszty.
Jednak by ta reszta (r) się pojawiła wystarczy, że do naszego wzoru ją dodasz.
Czyli t*k + r
Przykłady:
Liczbę, która dzieli się przez 21 i daje resztę 3 zapiszemy jako 21k +3
Liczbę, która dzieli się przez 589 i daje resztę 47 zapiszemy jako 589k+47
Korzystając z powyższych wzorów obliczysz to zadanie :)
6. Wynikiem jest reszta z dzielenia liczby 934 przez ilość osób
7. Podstawiamy wartości do wzoru n = 6k + r
8. Przykład na podpunkcie a) z treści zadania wynika że n : 5 = k reszty r
117 : 5 = 23,4 (to jest poprawny wynik, lecz zauważ, że nie jest to liczna naturalna. Jest to ułamek dziesiętny, a my mamy zapisać to w postaci 5k + r)
Naszym k jest liczba 23. Wszystko to co jest po przecinku nas już nie interesuje :)
23 * 5 = 115 (aby obliczyć różnicę wpierw k mnożymy razy nasz dzielnik)
117 - 115 = 2 (następni od naszego głównego wyniku n odjąć powyższy iloczyn)
Tym sposobem otrzymaliśmy naszą resztę. Gotowe wyniki podstawiamy do wzoru 5k +r.
9. LICZBY PARZYSTE TO 2,4,6,8,10 ... LICZBY NIEPARZYSTE TO 1,3,5,7,9,11 ...
a) 2n to ogólny wzór liczby parzystej, ale skąd on się bierze? Zwróć uwagę na poniższe przykłady.
n= 1 2*1=2
n= 2 2*2=4
n= 3 2*3=6
n= 4 2*4=8
....
2*17=34
2*244=488
Obojętnie jaką liczbę sobie wybierzesz, zawsze mnożąc ją przez 2 otrzymasz liczbę parzystą.
Stąd też nasz wzór 2n. Radzę ci go zapamiętać. Przyda się :)
Aby dopisać do liczby parzystej kolejną liczbę dodajemy zawsze 2.
I :LICZBA 2n
II LICZBA 2n+2
III LICZBA 2n+2+2= 2n+4
b) 2n+1 to ogólny wzór liczb nieparzystych
n=0 2*0+1=1
n=1 2*1+1=3
itd... zawsze otrzymasz liczbę nieparzystą stosując wzór 2n+1
Aby podać kolejną liczbę nieparzystą trzeba dodać do niej również 2.
I :LICZBA 2n+1
II LICZBA 2n+1+2=2n+3
III LICZBA 2n+3+2= 2n+5
IV LICZBA 2n+5+2=2n+7
10.
a) liczba podzielna przez 3 czyli taka którą zapisujemy jako 3k (musisz to po prostu zapamiętać)
I :LICZBA 3k
II LICZBA 3k+3 (zróbmy to na przykładzie jakiejś licbzy k=4 więc 4*3=12 teraz kolejna liczba podzielna przez 3 to 5*3=15. 15-12=3 różnica między nimi to 3 czyli do liczby podzielnej przez 3 dodajemy 3)
III LICZBA 3k+3+3=3k+6
suma to wynik dodawania
3k + (3k+3) + (3k+6)= 3k + 3k +3 + 3k + 6 = 9k + 9 = 9(k+1) więc jest podzielne przez 9
b) 2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 + 2n + 8 = 10n + 20 = 10(n+10) podzielne przez 10
11. Pamiętaj by dzielić tylko przez liczby pierwsze !
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz